Primer: obroč Z Gaussovih celih števil je končno generiran Z-modul, Z pa je Noetherian. Po prejšnjem izreku je Z Noetherjev prstan. Izrek: Obroči frakcij Noetherovih obročev so Noetherjevi.
Je Z X Noetherian prstan?
Prstan Z[X, 1 /X] je noetherian, ker je izomorfen Z[X, Y]/(XY − 1).
Zakaj je Z Noetherian?
Vendar obstaja le končno veliko idealov v Z, ki vsebujejo I1, saj ustrezajo idealom končnega obroča Z/(a) po lemi 1.21. Zato veriga ne more biti neskončno dolga, zato je Z Noetherian.
Kaj je Noetherian domena?
Vsak glavni idealni prstan, kot so cela števila, je noetherian saj vsak ideal ustvari en sam elementTo vključuje glavne idealne domene in evklidske domene. Dedekindova domena (npr. obroči celih števil) je Noetherjeva domena, v kateri vsak ideal generirata največ dva elementa.
Kako dokažete, da je prstan Noetherian?
Izrek A obroč R je Noetherian, če in samo če vsaka neprazna množica idealov R vsebuje največji element Dokaz ⇐=Naj je I1 ⊆ I2 ⊆··· naraščajoča veriga idealov R. Postavite S={I1, I2, …}. Če vsaka neprazna množica idealov vsebuje največji element, potem S vsebuje največji element, recimo IN.